Examples of split and non-split tori

Let \(T\) be an algebraic group. \(T\) is called an algebraic torus over \(k\), if \(T(E)\) is isomorphic to a finite direct product of copies of \(G_m(E)\) for some finite finite extension \(E\) of \(k\), where \(G_m\) is the multiplicative group. If \(E\) can be \(k\), then \(T\) is called a split torus over \(k\); otherwise, \(T\) is called a non split torus over \(k\). In this post, I am going to talk something about \(SO\) to give examples of non split and split tori.

Definition. Let $k$ be a field, and $V$ be a vector space over $k$. Let $q$ be a quadratic form on $V$. Define $$SO(V,q;k)=\{\gamma \in SL(V) : q(\gamma v)=q(v), \forall v \in V\}.$$

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The Mellin transform

Definition

Let \(\mathbb{R}^{+}\) be the set of positive real numbers. Given a function \(f\) on \(\mathbb{R}^{+}\), define the Mellin transform of \(f\), whenever it makes sense, as follow: \[\mathcal{M}(f)(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}. \; (1)\]

The very first example of the Mellin transform I have known is the gamma function, \[\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{s} \frac{dt}{t},\] which is the Mellin transform of the function \(e^{-t}\).

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$k$ squares problem

Let’s fix a natural number \(k\). How many ways can we decompose \(n\) into \(k\) squares? It’s an interesting problem and it should help me understand automorphic forms better.

Let \(w_k(n)\) be the number of tuples \((n_1, \cdots, n_k)\in \mathbb{Z}^k\) such that \(n_1^2+\cdots+n_k^2=n\). Let \(g_k(q)\) be the generating function of \(w_k(n)\), i.e., \[g_k(q)=\sum_{n \in \mathbb{N}} w_k(n)q^n.\] Then, \[\begin{split} g_k(q) &= \sum_{n \in \mathbb{N}} w_k(n)q^n \\ &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \sum_{\substack{n_1, \cdots, n_k \in \mathbb{Z} \\ n_1^2+\cdots+n_k^2=n}}q^n \\ &= \sum_{n_1, \cdots, n_k \in \mathbb{Z}} q^{n_1^2+\cdots+n_k^2} \\ &= \left(\sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2}\right)^k \\ &= (g_1(q))^k. \end{split}\]

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Self hypnosis and insomnia

I have been suffering from insomnia since I came back to Columbus. I thought it was just a matter of jet lag. But after a week or two, I began to realize that it is something else, something unknown yet, that matters. Insufficient sleep turns me into a zombie around 2 or 3 pm in the afternoon.

I had exactly the same problem last December. I tried many ways and finally figured out alcohol worked it out for me. However, alcohol has lost its power on me this time, soon after I finished my rum. Now I go to swimming and work out every other day to make me exhausted at the end of day. Theoretically, this should make me tired and then I could fall asleep easier. Reality always beats theory. It just worsen the consequence of insomnia.

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雨后随写

雨后的倦意与泥土里的水分在蒸发着
或白或黄的土狗们还横七竖八地躺着
两只躲着我的小花猫在高处柔柔咪叫
当然必不可少的是阳光与微风伴鸟鸣

脱缰的土狗是一朵充满野性的乌云
随意扰乱可见的平静
在田野里的杂草轧出一条小路
在小道上引起几声低骂
沿途的风景大概是没有注意到了
也不管跑了多远
终点不外乎迷路或者锁链

一旁砖砌小池里的水涨了些许
拘束的鱼慌乱流窜
翅膀在心中展开
翅膀只能在心中展开

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过去的2013

2013年有两件重要的事情:毕业、出国——一个阶段的结束伴随另一个阶段的开始。

毕业

回忆的时候总觉得时间过得很快——不知不觉中,我已经毕业半年了。在那个特殊的季节里,我不断回忆我大学四年所做过的事情。杭州的闷热让我略感烦躁,而烦躁在侵蚀我的记忆。记忆中的大一与日记中的大一出现了很大的偏差,对于很多当时发生的事情,当下的感受比当时的感受淡多了,时间抹去了很多强烈的情绪。大二大三的时候,学习生活的单调性让我不怎么写日记了。没有了日记的对照,大二大三只剩下骨头了。但我相信,大二大三是我大学里最用功的两年。

大四上学期忙完申请,大四下学期就没有多少事情了,花时间的只有一门关于李代数表示的讨论班以及毕业论文。我的毕业论文比较简单:只是说明一些对称恒等式(特别是涉及Schur函数的对称恒等式)以及同构表示之间的对应关系。所以,我在毕业那段时间是很闲的。人太闲会出问题的,闲下来之后,很多让我不能入睡的问题像一颗颗子弹正中红心。毕业那段时间也是我失眠最厉害的一段时间。

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冬日碎语

1、前一段时间总是凌晨两三点才能入睡。每当我置身于黑暗中,我就开始想这样的一个问题:上帝是否存在?这个问题的起源是几个“为什么”。为什么物体会往下掉?因为有重力。为什么会有重力?因为有质量的物体能产生重力场,从而产生重力。那为什么有质量的物体能产生重力场?以我现在的知识,我无法解答这个为什么。我觉得无论是怎样的“为什么”,不断追问下去的话,最终总会问到”谁创造宇宙“的问题。

朋友给了我这样的一个反问来说明上帝是存在的:

如果你在沙滩上看到一行字,你绝对不会认为这是自然产生的,你肯定是认为是由智慧生物,第一反应当然是人,写上去的。那人类本身呢?

这是一个很好的反问,我是承认的,但不足以说服我。这是一个具有强烈导向性的反问,并没有说明为什么人类不能偶然地产生,或者没有直接的证据说明上帝的存在。

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分割双页扫描电子书

在平板上阅读双页扫描的电子书是一件很麻烦的事情,但是偏偏很多书都是双页扫描的,大概双页扫描比较方便吧。例如很多书籍的扫描出来的效果是这样的:

扫描页

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坐火车

上个星期为了办护照匆忙回家了几天,我算了算,大概是火车上“呆”了2天,在家呆了2天。坐火车是耗时间的方式,如果有急事或者有能力图个舒服的,大抵会选坐飞机。即使是坐火车,很多人还是乐意选硬卧,而我估摸三月份坐火车的人会少了,买了往返的硬座票。当我到了杭州火车站时,三月份的火车站依然人头攒动。看着拥挤乱窜的人潮,心里有点烦躁。

每次坐火车我都会有个疑问:为什么检票还没有开始但即将开始的时候大家都会挤在检票口那里?他们或是老早就挤在检票口那里等待,或是从侧道、跨过座椅挤到前面。我自己也有个答案:他们要么买的是无座票想占据有利位置度过漫长的旅途,要么是行李多想早点上去将行李放在行李架上。但后来发现那些手拿硬卧票而且行李也没多少的人挤在了里面,觉得很不能理解。他们早点迟点上火车,对他们都没有影响,又不至于赶不上火车。是不是因为看到大家都在拥挤着,心里都不自觉地变得着急烦躁起来?进了检票口还得挤,挤在上火车的车门前。没有多少人愿意去排队,堵在那里的人们自然地形成了以车门为中心的半圆形的“队伍”。想着自己也是这半圆的一点,有点搞笑。

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回家

高考报志愿之前,我就决定了无论怎样我都不会选择广东省内的学校。我到现在也不明白当时为什么我能有这样的决心。可能是因为我大学以前都基本呆在广东省,准确的说是守在居住与学校的几分地,仅仅在高中两次暑假分别去了合肥与武汉——数学夏令营。也可能是因为有种“离家越远,梦想就能越远”的错觉。最后,我来到了浙江,一个离家1400公里的地方。

大一大二时寝室里加上我五个人,另外四个都是浙江本地人。每到节假日,他们只要愿意都可以回家。而我手指扳扳,还是等寒暑假吧。事实上,我也没有强烈的回家的欲望,没有很思念家。“回家之后我又能干什么事情呢?”我问自己。对我来说,回家的吸引完全在于与朋友们相见,与家无关,而节假日回家的朋友们少之又少。所以到了节假日,我只会打电话给妈妈,跟她说说放假多少天,不回家了,问问家里有什么安排,之如此类的家常。我唯一一次有强烈回家欲望的是大一暑假提早回校之后。感情上的创伤以及寝室只有我一个人都让我深深感到孤独。我那时真的无法一个人支撑下去了。那刻的矛盾,是我比以往任何时候都想回家,却又害怕家人知道我的伤心。最后,我还是没有回家,而是从两位好朋友那里得到了勇气与力量。大三因为专业的缘故,我到了一个新的寝室,我们都不是浙江本地人,家分散在中国的四个角落,都离浙江很远。于是 …

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