Believe in Mathematics
Let \(\mathbb{R}^{+}\) be the set of positive real numbers. Given a function \(f\) on \(\mathbb{R}^{+}\), define the Mellin transform of \(f\), whenever it makes sense, as follow: \[\mathcal{M}(f)(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}. \; (1)\]
The very first example of the Mellin transform I have known is the gamma function, \[\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{s} \frac{dt}{t},\] which is the Mellin transform of the function \(e^{-t}\).
Let’s fix a natural number \(k\). How many ways can we decompose \(n\) into \(k\) squares? It’s an interesting problem and it should help me understand automorphic forms better.
Let \(w_k(n)\) be the number of tuples \((n_1, \cdots, n_k)\in \mathbb{Z}^k\) such that \(n_1^2+\cdots+n_k^2=n\). Let \(g_k(q)\) be the generating function of \(w_k(n)\), i.e., \[g_k(q)=\sum_{n \in \mathbb{N}} w_k(n)q^n.\] Then, \[\begin{split} g_k(q) &= \sum_{n \in \mathbb{N}} w_k(n)q^n \\ &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \sum_{\substack{n_1, \cdots, n_k \in \mathbb{Z} \\ n_1^2+\cdots+n_k^2=n}}q^n \\ &= \sum_{n_1, \cdots, n_k \in \mathbb{Z}} q^{n_1^2+\cdots+n_k^2} \\ &= \left(\sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2}\right)^k \\ &= (g_1(q))^k. \end{split}\]
I have been suffering from insomnia since I came back to Columbus. I thought it was just a matter of jet lag. But after a week or two, I began to realize that it is something else, something unknown yet, that matters. Insufficient sleep turns me into a zombie around 2 or 3 pm in the afternoon.
I had exactly the same problem last December. I tried many ways and finally figured out alcohol worked it out for me. However, alcohol has lost its power on me this time, soon after I finished my rum. Now I go to swimming and work out every other day to make me exhausted at the end of day. Theoretically, this should make me tired and then I could fall asleep easier. Reality always beats theory. It just worsen the consequence of insomnia.
2013年有两件重要的事情：毕业、出国——一个阶段的结束伴随另一个阶段的开始。
回忆的时候总觉得时间过得很快——不知不觉中，我已经毕业半年了。在那个特殊的季节里，我不断回忆我大学四年所做过的事情。杭州的闷热让我略感烦躁，而烦躁在侵蚀我的记忆。记忆中的大一与日记中的大一出现了很大的偏差，对于很多当时发生的事情，当下的感受比当时的感受淡多了，时间抹去了很多强烈的情绪。大二大三的时候，学习生活的单调性让我不怎么写日记了。没有了日记的对照，大二大三只剩下骨头了。但我相信，大二大三是我大学里最用功的两年。
大四上学期忙完申请，大四下学期就没有多少事情了，花时间的只有一门关于李代数表示的讨论班以及毕业论文。我的毕业论文比较简单：只是说明一些对称恒等式（特别是涉及Schur函数的对称恒等式）以及同构表示之间的对应关系。所以，我在毕业那段时间是很闲的。人太闲会出问题的，闲下来之后，很多让我不能入睡的问题像一颗颗子弹正中红心。毕业那段时间也是我失眠最厉害的一段时间。
1、前一段时间总是凌晨两三点才能入睡。每当我置身于黑暗中，我就开始想这样的一个问题：上帝是否存在？这个问题的起源是几个“为什么”。为什么物体会往下掉？因为有重力。为什么会有重力？因为有质量的物体能产生重力场，从而产生重力。那为什么有质量的物体能产生重力场？以我现在的知识，我无法解答这个为什么。我觉得无论是怎样的“为什么”，不断追问下去的话，最终总会问到”谁创造宇宙“的问题。
朋友给了我这样的一个反问来说明上帝是存在的：
如果你在沙滩上看到一行字，你绝对不会认为这是自然产生的，你肯定是认为是由智慧生物，第一反应当然是人，写上去的。那人类本身呢？
这是一个很好的反问，我是承认的，但不足以说服我。这是一个具有强烈导向性的反问，并没有说明为什么人类不能偶然地产生，或者没有直接的证据说明上帝的存在。
上个星期为了办护照匆忙回家了几天，我算了算，大概是火车上“呆”了2天，在家呆了2天。坐火车是耗时间的方式，如果有急事或者有能力图个舒服的，大抵会选坐飞机。即使是坐火车，很多人还是乐意选硬卧，而我估摸三月份坐火车的人会少了，买了往返的硬座票。当我到了杭州火车站时，三月份的火车站依然人头攒动。看着拥挤乱窜的人潮，心里有点烦躁。
每次坐火车我都会有个疑问：为什么检票还没有开始但即将开始的时候大家都会挤在检票口那里？他们或是老早就挤在检票口那里等待，或是从侧道、跨过座椅挤到前面。我自己也有个答案：他们要么买的是无座票想占据有利位置度过漫长的旅途，要么是行李多想早点上去将行李放在行李架上。但后来发现那些手拿硬卧票而且行李也没多少的人挤在了里面，觉得很不能理解。他们早点迟点上火车，对他们都没有影响，又不至于赶不上火车。是不是因为看到大家都在拥挤着，心里都不自觉地变得着急烦躁起来？进了检票口还得挤，挤在上火车的车门前。没有多少人愿意去排队，堵在那里的人们自然地形成了以车门为中心的半圆形的“队伍”。想着自己也是这半圆的一点，有点搞笑。
这次旅游最初想法是想验证他们说的一个定理：二维平面上，从一个点出发，每次向一个随机方向前进一定距离，经过足够长时间最终回到出发点的概率是1。所以我每次都是到了一个目的地以后才决定下一个落脚点。当然，我的做法并不科学，因为我有最终的目的地：家，而且我没有足够长的时间。随机的旅游，遭遇随机的惊喜。
我的第一站是衢州。衢州人真的很好，让我对衢州这个地方留下了很好的印象。首先是在火车上遇到一个在部队了工作的衢州人，在他的帮助下，我以比较低的价格住进了一个很好的宾馆里。其次是在我正为找去孔庙的路而苦恼的时候不经意的一个问路竟然又遇到了一个大好人。这位衢州人是一位只比我小2岁，姓徐，在此文中不妨叫做徐兄。徐兄花了整个早上陪我转了孔庙附近的所有景点，而且详细地为我解说每一处景点的历史。他告诉我衢州以前叫西安，但因为跟陕西那个撞名了，所以后来才把名字改过来。还有衢州三怪的故事之中的两个——独角怪、白布怪，徐兄带我到钟楼与县学池塘分别解说了这两个故事。我很佩服他，能讲这些历史与民间传说的年轻人已经不多了。
