Let \(T\) be an algebraic group. \(T\) is called an algebraic torus over \(k\), if \(T(E)\) is isomorphic to a finite direct product of copies of \(G_m(E)\) for some finite finite extension \(E\) of \(k\), where \(G_m\) is the multiplicative group. If \(E\) can be \(k\), then \(T\) is called a split torus over \(k\); otherwise, \(T\) is called a non split torus over \(k\). In this post, I am going to talk something about \(SO\) to give examples of non split and split tori.

Definition

Let \(\mathbb{R}^{+}\) be the set of positive real numbers. Given a function \(f\) on \(\mathbb{R}^{+}\), define the Mellin transform of \(f\), whenever it makes sense, as follow: \[\mathcal{M}(f)(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}. \; (1)\]

The very first example of the Mellin transform I have known is the gamma function, \[\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{s} \frac{dt}{t},\] which is the Mellin transform of the function \(e^{-t}\).

Let’s fix a natural number \(k\). How many ways can we decompose \(n\) into \(k\) squares? It’s an interesting problem and it should help me understand automorphic forms better.

Let \(w_k(n)\) be the number of tuples \((n_1, \cdots, n_k)\in \mathbb{Z}^k\) such that \(n_1^2+\cdots+n_k^2=n\). Let \(g_k(q)\) be the generating function of \(w_k(n)\), i.e., \[g_k(q)=\sum_{n \in \mathbb{N}} w_k(n)q^n.\] Then, \[\begin{split} g_k(q) &= \sum_{n \in \mathbb{N}} w_k(n)q^n \\ &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \sum_{\substack{n_1, \cdots, n_k \in \mathbb{Z} \\ n_1^2+\cdots+n_k^2=n}}q^n \\ &= \sum_{n_1, \cdots, n_k \in \mathbb{Z}} q^{n_1^2+\cdots+n_k^2} \\ &= \left(\sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n^2}\right)^k \\ &= (g_1(q))^k. \end{split}\]

I have been suffering from insomnia since I came back to Columbus. I thought it was just a matter of jet lag. But after a week or two, I began to realize that it is something else, something unknown yet, that matters. Insufficient sleep turns me into a zombie around 2 or 3 pm in the afternoon.

I had exactly the same problem last December. I tried many ways and finally figured out alcohol worked it out for me. However, alcohol has lost its power on me this time, soon after I finished my rum. Now I go to swimming and work out every other day to make me exhausted at the end of day. Theoretically, this should make me tired and then I could fall asleep easier. Reality always beats theory. It just worsen the consequence of insomnia.

雨后的倦意与泥土里的水分在蒸发着
或白或黄的土狗们还横七竖八地躺着
两只躲着我的小花猫在高处柔柔咪叫
当然 …

2013年有两件重要的事情：毕业、出国——一个阶段的结束伴随另一个阶段的开始。

毕业

回忆的时候总觉得时间过得很快——不知不觉中，我已经毕业半年了。在那个特殊的季节里，我不断回忆我大学四年所做过的事情。杭州的闷热让我略感烦躁，而烦躁在侵蚀我的记忆。记忆中的大一与日记中的大一出现了很大的偏差，对于很多当时发生的事情，当下的感受比当时的感受淡多了，时间抹去了很多强烈的情绪。大二大三的时候，学习生活的单调性让我不怎么写日记了。没有了日记的对照，大二大三只剩下骨头了。但我相信，大二大三是我大学里最用功的两年。

大四上学期忙完申请，大四下学期就没有多少事情了，花时间的只有一门关于李代数表示的讨论班以及毕业论文。我的毕业论文比较简单：只是说明一些对称恒等式（特别是涉及Schur函数的对称恒等式）以及同构表示之间的对应关系。所以，我在毕业那段时间是很闲的。人太闲会出问题的，闲下来之后，很多让我不能入睡的问题像一颗颗子弹正中红心。毕业那段时间也是我失眠最厉害的一段时间。

1、前一段时间总是凌晨两三点才能入睡。每当我置身于黑暗中，我就开始想这样的一个问题：上帝是否存在？这个问题的起源是几个“为什么”。为什么物体会往下掉？因为有重力。为什么会有重力？因为有质量的物体能产生重力场，从而产生重力。那为什么有质量的物体能产生重力场？以我现在的知识，我无法解答这个为什么。我觉得无论是怎样的“为什么”，不断追问下去的话，最终总会问到”谁创造宇宙“的问题。

朋友给了我这样的一个反问来说明上帝是存在的：

如果你在沙滩上看到一行字，你绝对不会认为这是自然产生的，你肯定是认为是由智慧生物，第一反应当然是人，写上去的。那人类本身呢？

这是一个很好的反问，我是承认的，但不足以说服我。这是一个具有强烈导向性的反问，并没有说明为什么人类不能偶然地产生，或者没有直接的证据说明上帝的存在。

在平板上阅读双页扫描的电子书是一件很麻烦的事情，但是偏偏很多书都是双页扫描的，大概双页扫描比较方便吧。例如很多书籍的扫描出来的效果是这样的：

上个星期为了办护照匆忙回家了几天，我算了算，大概是火车上“呆”了2天，在家呆了2天。坐火车是耗时间的方式，如果有急事或者有能力图个舒服的，大抵会选坐飞机。即使是坐火车，很多人还是乐意选硬卧，而我估摸三月份坐火车的人会少了，买了往返的硬座票。当我到了杭州火车站时，三月份的火车站依然人头攒动。看着拥挤乱窜的人潮，心里有点烦躁。

每次坐火车我都会有个疑问：为什么检票还没有开始但即将开始的时候大家都会挤在检票口那里？他们或是老早就挤在检票口那里等待，或是从侧道、跨过座椅挤到前面。我自己也有个答案：他们要么买的是无座票想占据有利位置度过漫长的旅途，要么是行李多想早点上去将行李放在行李架上。但后来发现那些手拿硬卧票而且行李也没多少的人挤在了里面，觉得很不能理解。他们早点迟点上火车，对他们都没有影响，又不至于赶不上火车。是不是因为看到大家都在拥挤着，心里都不自觉地变得着急烦躁起来？进了检票口还得挤，挤在上火车的车门前。没有多少人愿意去排队，堵在那里的人们自然地形成了以车门为中心的半圆形的“队伍”。想着自己也是这半圆的一点，有点搞笑。

高考报志愿之前，我就决定了无论怎样我都不会选择广东省内的学校。我到现在也不明白当时为什么我能有这样的决心 …